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== 基本不等式 ==
=== 用一段长为 <math>36\,\text{m}</math> 的篱笆围成一个矩形菜园.===
# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 <math>x\,\text{m}, y\,\text{m}</math>，则篱笆的长度为 <math>2(x + y)\,\text{m}</math>.

1. 

* 由已知，得 <math>xy = 100</math>，
* 根据基本不等式 <math>\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}</math>，
* 可得 <math>x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20</math>，
* 所以，<math>2(x + y) \geq 40</math>
* 当且仅当 <math>x = y = 10</math> 时，上式等号成立.
* 因此，当这个矩形菜园是边长为 <math>10\,\text{m}</math> 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 <math>40\,\text{m}</math>.

2. 

* 由已知，得 <math>2(x + y) = 40</math>，矩形菜园的面积为 <math>xy\,\text{m}^2</math>.
* 根据基本不等式可得 <math>\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9</math>，
* 所以，<math>xy \leq 81</math>.
* 当且仅当 <math>x = y = 9</math> 时，上式等号成立.
* 因此，当这个矩形菜园时边长为 <math>9\,\text{m}</math> 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 <math>81\,\text{m}^2</math>.

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[[分类:代数]]