不等式

基本不等式

用一段长为 $36\text{m}$ 的篱笆围成一个矩形菜园.

1. 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
2. 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 $x\text{m},y\text{m}$，则篱笆的长度为 $2(x+y)\text{m}$.

1.

• 由已知，得 $xy=100$，
• 根据基本不等式 $\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$，
• 可得 $x+y\ge 2\sqrt{xy}=2\sqrt{100}=20$，
• 所以，$2(x+y)\ge 40$
• 当且仅当 $x=y=10$ 时，上式等号成立.
• 因此，当这个矩形菜园是边长为 $10\text{m}$ 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 $40\text{m}$.

2.

• 由已知，得 $2(x+y)=40$，矩形菜园的面积为 $xy{\text{m}}^2$.
• 根据基本不等式可得 $\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}=\frac{18}{2}=9$，
• 所以，$xy\le 81$.
• 当且仅当 $x=y=9$ 时，上式等号成立.
• 因此，当这个矩形菜园时边长为 $9\text{m}$ 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 $81{\text{m}}^2$.

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