集合

集合元素的互异性

设 $a, b \in ℝ$ ，集合 ${1, a + b, a} = {0, \frac{b}{a}, b}$ ，求 $a^{2023} + b^{2024}$ 的值。

答案： $0$

集合与函数的定义域、值域

已知集合 $A = {y ∣ y = 2^{x - 1}, 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x ∣ y = \lg (2 - x)}$ ，则下列结论正确的是（　　）
A. $A \subseteq B$ B. $A \cap B = [0, 2]$ C. $A \cup B = (- \infty, 2]$ D. $(∁_{ℝ} A) \cup B = ℝ$

解答：

$A = [2^{1 - 1}, 2^{2 - 1}] = [1, 2]$ ， $B = {x ∣ 2 - x > 0} = (- \infty, 2)$ ．因此 C 选项正确．

答案：C

集合与不等式

已知集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x \leq 4}$ ， $C = {x ∣ 2 m < x < m + 1}$ 。若命题“ $\exists x \in C, x \in A$ ”为假，求实数 $m$ 的取值范围。

答案： $(- \infty, - 2] \cup [- 1, + \infty)$

差集的定义与运算

设 $P, Q$ 是两个集合，定义 $P ∖ Q = {x ∣ x \in P 且 x \notin Q}$ 。若 $P = {x ∣ 1 < 2^{x} < 4}$ ， $Q = {y ∣ y = 2 + \sin x, x \in ℝ}$ ，求 $P ∖ Q$ 。

解答：

$P = (0, 2)$ ， $Q = [1, 3]$ ．根据定义， $P ∖ Q$ 就是从 $P$ 中去掉 $P$ 和 $Q$ 共有的部分后剩余的集合，因此 $P ∖ Q = (0, 1)$ ．

答案： $(0, 1)$

聚点（极限思想）

设集合 $X \subseteq ℝ$ 。若 $x_{0} \in ℝ$ 满足：对任意 $a > 0$ ，都存在 $x \in X$ 使得 $0 < | x - x_{0} | < a$ ，则称 $x_{0}$ 为集合 $X$ 的聚点。
下列集合中以 $0$ 为聚点的有（　　）
A. ${x ∣ x \in ℝ, x \neq 0}$ B. ${x ∣ x \in ℤ, x \neq 0}$ C. ${x ∣ x = \frac{1}{n}, n \in ℕ^{*}}$ D. ${x ∣ x = \frac{n}{n + 1}, n \in ℕ^{*}}$

答案：A、C

指示函数与集合运算

设 $U$ 为有限全集，对任意子集 $S \subseteq U$ 定义指示函数：
$1_{S} (x) = {\begin{cases} 1, & x \in S, \\ 0, & x \notin S . \end{cases}$
若 $A, B, C \subseteq U$ ，则下列结论正确的是（　　）
A. $\sum_{x \in A} 1_{A} (x) < \sum_{x \in U} 1_{A} (x)$ B. $1_{A \cap B} (x) \leq 1_{A} (x) \leq 1_{A \cup B} (x)$ C. $\sum_{x \in U} 1_{A \cup B} (x) = \sum_{x \in U} 1_{A} (x) + 1_{B} (x) - 1_{A} (x) 1_{B} (x)$ D. $\sum_{x \in U} (1 - 1_{A} (x)) (1 - 1_{B} (x)) (1 - 1_{C} (x)) = \sum_{x \in U} 1_{U} (x) - \sum_{x \in U} 1_{A \cup B \cup C} (x)$

答案：B、C、D

集合不相交的判定

已知集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x \leq 4}$ ， $C = {x ∣ 2 m < x < m + 1}$ ．若 $\exists x \in C, x \in A$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围．

解答：

$\exists x \in C, x \in A$ 为假命题，则 $\forall x \in C, x \notin A$ 为真命题，即 $C \cap A = \emptyset$ ．
若 $C = \emptyset$ ，则 $2 m \geq m + 1$ ，解得 $m \geq - 1$ ．
若 $C \neq \emptyset$ ，则 $2 m < m + 1 \leq - 1$ 或 $4 \leq 2 m < m + 1$ ，解得 $m \leq - 2$ ．
综上，实数 $m$ 的取值范围是 $(- \infty, - 2] \cup [- 1, + \infty)$ ．

答案： $(- \infty, - 2] \cup [- 1, + \infty)$

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关于集合的相关笔记，已收录在姊妹项目高中笔记中。

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