集合

集合元素的互异性

设 $a,b\in \mathbb{ℝ}$，集合 $\{1,a+b,a\}=\{0,\frac{b}{a},b\}$，求 $a^{2023}+b^{2024}$ 的值。

解答：

首先 $a\ne 0$，那么由两集合中元素的一一对应关系，可知 $a+b=0$．接下来分两种情况：

若 $1=\frac{b}{a}$，$a=b$，由于 $a+b=0$，故 $a=0$，矛盾．

若 $1=b$，$a=\frac{b}{a}$，可知 $a=-1$，因此左侧集合为 $\{1,0,-1\}$，右侧集合为 $\{0,-1,1\}$，成立．

综上所述，$a=-1,b=1$，因此 $a^{2023}+b^{2024}=0$．

答案：$0$

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集合与函数的定义域、值域

已知集合 $A=\{y\mid y=2^{x-1},1\le x\le 2\}$， $B=\{x\mid y=\lg (2-x)\}$， 则下列结论正确的是（　　）

A. $A\subseteq B$ B. $A\cap B=[0,2]$ C. $A\cup B=(-\mathrm{\infty },2]$ D. $({\complement }_{\mathbb{ℝ}}A)\cup B=\mathbb{ℝ}$

解答：

$A=[2^{1-1},2^{2-1}]=[1,2]$，$B=\{x\mid 2-x>0\}=(-\mathrm{\infty },2)$．因此 C 选项正确．

答案：C

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集合与不等式

已知集合 $A=\{x\mid -1\le x\le 4\}$， $C=\{x\mid 2m<x<m+1\}$。 若命题“$\mathrm{\exists }x\in C,x\in A$”为假，求实数 $m$ 的取值范围。

答案：$(-\mathrm{\infty },-2]\cup [-1,+\mathrm{\infty })$

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差集的定义与运算

设 $P,Q$ 是两个集合，定义 $P\setminus Q=\{x\mid x\in P\text{ 且 }x\notin Q\}$。 若 $P=\{x\mid 1<2^x<4\}$， $Q=\{y\mid y=2+\sin x,x\in \mathbb{ℝ}\}$， 求 $P\setminus Q$。

解答：

$P=(0,2)$，$Q=[1,3]$．根据定义，$P\setminus Q$ 就是从 $P$ 中去掉 $P$ 和 $Q$ 共有的部分后剩余的集合，因此 $P\setminus Q=(0,1)$．

答案： $(0,1)$

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聚点（极限思想）

设集合 $X\subseteq \mathbb{ℝ}$。 若 $x_0\in \mathbb{ℝ}$ 满足： 对任意 $a>0$，都存在 $x\in X$ 使得 $0<|x-x_0|<a$， 则称 $x_0$ 为集合 $X$ 的聚点。

下列集合中以 $0$ 为聚点的有（　　）

A. $\{x\mid x\in \mathbb{ℝ},x\ne 0\}$ B. $\{x\mid x\in \mathbb{\mathbb{Z}},x\ne 0\}$ C. $\{x\mid x=\frac{1}{n},n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}^{\ast }\}$ D. $\{x\mid x=\frac{n}{n+1},n\in {\mathbb{\mathbb{N}}}^{\ast }\}$

答案：A、C

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指示函数与集合运算

设 $U$ 为有限全集，对任意子集 $S\subseteq U$ 定义指示函数：

$1_S(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in S,\\ 0,& x\notin S.\end{array}$

若 $A,B,C\subseteq U$，则下列结论正确的是（　　）

A. $\sum _{x\in A}{1}_A(x)<\sum _{x\in U}{1}_A(x)$ B. $1_{A\cap B}(x)\le 1_A(x)\le 1_{A\cup B}(x)$ C. $\sum _{x\in U}{1}_{A\cup B}(x)=\sum _{x\in U}{1}_A(x)+1_B(x)-1_A(x)1_B(x)$ D. $\sum _{x\in U}(1-1_A(x))(1-1_B(x))(1-1_C(x))=\sum _{x\in U}{1}_U(x)-\sum _{x\in U}{1}_{A\cup B\cup C}(x)$

答案：B、C、D

集合不相交的判定

已知集合 $A=\{x\mid -1\le x\le 4\}$，$C=\{x\mid 2m<x<m+1\}$． 若 $\mathrm{\exists }x\in C,x\in A$ 为假命题，求实数 $m$ 的取值范围．

解答：

$\mathrm{\exists }x\in C,x\in A$ 为假命题，则 $\mathrm{\forall }x\in C,x\notin A$ 为真命题，即 $C\cap A=\varnothing$．

若 $C=\varnothing$，则 $2m\ge m+1$，解得 $m\ge -1$．

若 $C\ne \varnothing$，则 $2m<m+1\le -1$ 或 $4\le 2m<m+1$，解得 $m\le -2$．

综上，实数 $m$ 的取值范围是 $(-\mathrm{\infty },-2]\cup [-1,+\mathrm{\infty })$．

答案：$(-\mathrm{\infty },-2]\cup [-1,+\mathrm{\infty })$

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关于集合的相关笔记，已收录在姊妹项目高中笔记中。

请参阅：集合