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	<title>高中题库 - 用户贡献 [zh-cn]</title>
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	<updated>2026-05-31T17:22:40Z</updated>
	<subtitle>用户贡献</subtitle>
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	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88&amp;diff=44</id>
		<title>集合</title>
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		<updated>2026-01-18T06:29:42Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 集合元素的互异性 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;a,b\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;，集合 &amp;lt;math&amp;gt;\{1,a+b,a\}=\left\{0,\dfrac ba,b\right\}&amp;lt;/math&amp;gt;，求 &amp;lt;math&amp;gt;a^{2023}+b^{2024}&amp;lt;/math&amp;gt; 的值。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;解答&#039;&#039;&#039;：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{黑幕|&lt;br /&gt;
首先 &amp;lt;math&amp;gt;a\ne0&amp;lt;/math&amp;gt;，那么由两集合中元素的一一对应关系，可知 &amp;lt;math&amp;gt;a+b=0&amp;lt;/math&amp;gt;．接下来分两种情况：&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;1=\dfrac ba&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;a=b&amp;lt;/math&amp;gt;，由于 &amp;lt;math&amp;gt;a+b=0&amp;lt;/math&amp;gt;，故 &amp;lt;math&amp;gt;a=0&amp;lt;/math&amp;gt;，矛盾．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;1=b&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;a=\dfrac ba&amp;lt;/math&amp;gt;，可知 &amp;lt;math&amp;gt;a=-1&amp;lt;/math&amp;gt;，因此左侧集合为 &amp;lt;math&amp;gt;\{1,0,-1\}&amp;lt;/math&amp;gt;，右侧集合为 &amp;lt;math&amp;gt;\{0,-1,1\}&amp;lt;/math&amp;gt;，成立．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
综上所述，&amp;lt;math&amp;gt;a=-1,b=1&amp;lt;/math&amp;gt;，因此 &amp;lt;math&amp;gt;a^{2023}+b^{2024}=0&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 集合与函数的定义域、值域 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{y\mid y=2^{x-1},1\le x\le2\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;B=\{x\mid y=\lg(2-x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则下列结论正确的是（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;A\subseteq B&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;A\cap B=[0,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;A\cup B=(-\infty,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;(\complement_\mathbb R A)\cup B=\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;解答&#039;&#039;&#039;：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;A=[2^{1-1},2^{2-1}]=[1,2]&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;B=\{x\mid 2-x&amp;gt;0\}=(-\infty,2)&amp;lt;/math&amp;gt;．因此 C 选项正确．}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 集合与不等式 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{x\mid -1\le x\le4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C=\{x\mid 2m&amp;lt;x&amp;lt;m+1\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若命题“&amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt;”为假，求实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 差集的定义与运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;P,Q&amp;lt;/math&amp;gt; 是两个集合，定义  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q=\{x\mid x\in P\text{ 且 }x\notin Q\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;P=\{x\mid1&amp;lt;2^x&amp;lt;4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;Q=\{y\mid y=2+\sin x,x\in\mathbb R\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
求 &amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;解答：&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;P=(0,2)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;Q=[1,3]&amp;lt;/math&amp;gt;．根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q&amp;lt;/math&amp;gt; 就是从 &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; 中去掉 &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;Q&amp;lt;/math&amp;gt; 共有的部分后剩余的集合，因此 &amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q=(0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;．}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 聚点（极限思想） ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设集合 &amp;lt;math&amp;gt;X\subseteq\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;x_0\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt; 满足：  &lt;br /&gt;
对任意 &amp;lt;math&amp;gt;a&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;，都存在 &amp;lt;math&amp;gt;x\in X&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;|x-x_0|&amp;lt;a&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则称 &amp;lt;math&amp;gt;x_0&amp;lt;/math&amp;gt; 为集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的聚点。  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下列集合中以 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt; 为聚点的有（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb R,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb Z,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac1n,n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac n{n+1},n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|A、C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 指示函数与集合运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;U&amp;lt;/math&amp;gt; 为有限全集，对任意子集 &amp;lt;math&amp;gt;S\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt; 定义指示函数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
1_S(x)=&lt;br /&gt;
\begin{cases}&lt;br /&gt;
1,&amp;amp;x\in S,\\&lt;br /&gt;
0,&amp;amp;x\notin S.&lt;br /&gt;
\end{cases}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;A,B,C\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt;，则下列结论正确的是（　　）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in A}1_A(x)&amp;lt;\sum_{x\in U}1_A(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;1_{A\cap B}(x)\le1_A(x)\le1_{A\cup B}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}1_{A\cup B}(x)=\sum_{x\in U}1_A(x)+1_B(x)-1_A(x)1_B(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}(1-1_A(x))(1-1_B(x))(1-1_C(x))=\sum_{x\in U}1_U(x)-\sum_{x\in U}1_{A\cup B\cup C}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|B、C、D}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 集合不相交的判定 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{x\mid -1\le x\le4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C=\{x\mid 2m&amp;lt;x&amp;lt;m+1\}&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt; 为假命题，求实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围．&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;解答&#039;&#039;&#039;：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt; 为假命题，则 &amp;lt;math&amp;gt;\forall\,x\in C,x\notin A&amp;lt;/math&amp;gt; 为真命题，即 &amp;lt;math&amp;gt;C\cap A=\varnothing&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;C=\varnothing&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;2m\ge m+1&amp;lt;/math&amp;gt;，解得 &amp;lt;math&amp;gt;m\ge-1&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;C\ne\varnothing&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;2m&amp;lt;m+1\le-1&amp;lt;/math&amp;gt; 或 &amp;lt;math&amp;gt;4\le2m&amp;lt;m+1&amp;lt;/math&amp;gt;，解得 &amp;lt;math&amp;gt;m\le-2&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
综上，实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围是 &amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案&#039;&#039;&#039;：{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{到笔记|集合}}&lt;br /&gt;
[[分类:代数]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88&amp;diff=43</id>
		<title>集合</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88&amp;diff=43"/>
		<updated>2026-01-18T06:28:52Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 集合元素的互异性 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;a,b\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;，集合 &amp;lt;math&amp;gt;\{1,a+b,a\}=\left\{0,\dfrac ba,b\right\}&amp;lt;/math&amp;gt;，求 &amp;lt;math&amp;gt;a^{2023}+b^{2024}&amp;lt;/math&amp;gt; 的值。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;解答&#039;&#039;&#039;：&lt;br /&gt;
{{黑幕|&lt;br /&gt;
首先 &amp;lt;math&amp;gt;a\ne0&amp;lt;/math&amp;gt;，那么由两集合中元素的一一对应关系，可知 &amp;lt;math&amp;gt;a+b=0&amp;lt;/math&amp;gt;．接下来分两种情况：&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;1=\dfrac ba&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;a=b&amp;lt;/math&amp;gt;，由于 &amp;lt;math&amp;gt;a+b=0&amp;lt;/math&amp;gt;，故 &amp;lt;math&amp;gt;a=0&amp;lt;/math&amp;gt;，矛盾．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;1=b&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;a=\dfrac ba&amp;lt;/math&amp;gt;，可知 &amp;lt;math&amp;gt;a=-1&amp;lt;/math&amp;gt;，因此左侧集合为 &amp;lt;math&amp;gt;\{1,0,-1\}&amp;lt;/math&amp;gt;，右侧集合为 &amp;lt;math&amp;gt;\{0,-1,1\}&amp;lt;/math&amp;gt;，成立．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
综上所述，&amp;lt;math&amp;gt;a=-1,b=1&amp;lt;/math&amp;gt;，因此 &amp;lt;math&amp;gt;a^{2023}+b^{2024}=0&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 集合与函数的定义域、值域 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{y\mid y=2^{x-1},1\le x\le2\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;B=\{x\mid y=\lg(2-x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则下列结论正确的是（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;A\subseteq B&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;A\cap B=[0,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;A\cup B=(-\infty,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;(\complement_\mathbb R A)\cup B=\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;解答&#039;&#039;&#039;：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;A=[2^{1-1},2^{2-1}]=[1,2]&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;B=\{x\mid 2-x&amp;gt;0\}=(-\infty,2)&amp;lt;/math&amp;gt;．因此 C 选项正确．}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 集合与不等式 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{x\mid -1\le x\le4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C=\{x\mid 2m&amp;lt;x&amp;lt;m+1\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若命题“&amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt;”为假，求实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 差集的定义与运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;P,Q&amp;lt;/math&amp;gt; 是两个集合，定义  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q=\{x\mid x\in P\text{ 且 }x\notin Q\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;P=\{x\mid1&amp;lt;2^x&amp;lt;4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;Q=\{y\mid y=2+\sin x,x\in\mathbb R\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
求 &amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;解答：&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;P=(0,2)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;Q=[1,3]&amp;lt;/math&amp;gt;．根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q&amp;lt;/math&amp;gt; 就是从 &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; 中去掉 &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;Q&amp;lt;/math&amp;gt; 共有的部分后剩余的集合，因此 &amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q=(0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;．}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 聚点（极限思想） ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设集合 &amp;lt;math&amp;gt;X\subseteq\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;x_0\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt; 满足：  &lt;br /&gt;
对任意 &amp;lt;math&amp;gt;a&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;，都存在 &amp;lt;math&amp;gt;x\in X&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;|x-x_0|&amp;lt;a&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则称 &amp;lt;math&amp;gt;x_0&amp;lt;/math&amp;gt; 为集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的聚点。  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下列集合中以 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt; 为聚点的有（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb R,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb Z,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac1n,n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac n{n+1},n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|A、C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 指示函数与集合运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;U&amp;lt;/math&amp;gt; 为有限全集，对任意子集 &amp;lt;math&amp;gt;S\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt; 定义指示函数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
1_S(x)=&lt;br /&gt;
\begin{cases}&lt;br /&gt;
1,&amp;amp;x\in S,\\&lt;br /&gt;
0,&amp;amp;x\notin S.&lt;br /&gt;
\end{cases}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;A,B,C\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt;，则下列结论正确的是（　　）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in A}1_A(x)&amp;lt;\sum_{x\in U}1_A(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;1_{A\cap B}(x)\le1_A(x)\le1_{A\cup B}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}1_{A\cup B}(x)=\sum_{x\in U}1_A(x)+1_B(x)-1_A(x)1_B(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}(1-1_A(x))(1-1_B(x))(1-1_C(x))=\sum_{x\in U}1_U(x)-\sum_{x\in U}1_{A\cup B\cup C}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|B、C、D}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 集合不相交的判定 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{x\mid -1\le x\le4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C=\{x\mid 2m&amp;lt;x&amp;lt;m+1\}&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt; 为假命题，求实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围．&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;解答&#039;&#039;&#039;：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt; 为假命题，则 &amp;lt;math&amp;gt;\forall\,x\in C,x\notin A&amp;lt;/math&amp;gt; 为真命题，即 &amp;lt;math&amp;gt;C\cap A=\varnothing&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;C=\varnothing&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;2m\ge m+1&amp;lt;/math&amp;gt;，解得 &amp;lt;math&amp;gt;m\ge-1&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;C\ne\varnothing&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;2m&amp;lt;m+1\le-1&amp;lt;/math&amp;gt; 或 &amp;lt;math&amp;gt;4\le2m&amp;lt;m+1&amp;lt;/math&amp;gt;，解得 &amp;lt;math&amp;gt;m\le-2&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
综上，实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围是 &amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案&#039;&#039;&#039;：{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{到笔记|集合}}&lt;br /&gt;
[[分类:代数]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%A8%A1%E6%9D%BF:%E9%BB%91%E5%B9%95&amp;diff=42</id>
		<title>模板:黑幕</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%A8%A1%E6%9D%BF:%E9%BB%91%E5%B9%95&amp;diff=42"/>
		<updated>2026-01-18T06:19:40Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&amp;lt;includeonly&amp;gt;&amp;lt;span title=&amp;quot;{{{2|你知道的太多了}}}&amp;quot; class=&amp;quot;heimu&amp;quot;&amp;gt;{{{1}}}&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/includeonly&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=MediaWiki:Common.css&amp;diff=41</id>
		<title>MediaWiki:Common.css</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=MediaWiki:Common.css&amp;diff=41"/>
		<updated>2026-01-18T06:17:19Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;/* 这里放置的CSS将应用于所有皮肤 */&lt;br /&gt;
.heimu,&lt;br /&gt;
.heimu rt {&lt;br /&gt;
    background-color: #252525;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.heimu,&lt;br /&gt;
.heimu a,&lt;br /&gt;
a .heimu {&lt;br /&gt;
    color: #252525;&lt;br /&gt;
    transition: color 0.13s linear;&lt;br /&gt;
    text-shadow: none;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.heimu:hover,&lt;br /&gt;
.heimu:active {&lt;br /&gt;
    color: #fff;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.heimu:hover a,&lt;br /&gt;
a:hover .heimu {&lt;br /&gt;
    color: lightblue;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.heimu {&lt;br /&gt;
    display: inline-block;&lt;br /&gt;
}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%A8%A1%E6%9D%BF:%E9%BB%91%E5%B9%95&amp;diff=40</id>
		<title>模板:黑幕</title>
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		<updated>2026-01-18T06:14:52Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​修正笔误&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&amp;lt;includeonly&amp;gt;&amp;lt;div title=&amp;quot;{{{2|你知道的太多了}}}&amp;quot; class=&amp;quot;heimu&amp;quot;&amp;gt;{{{1}}}&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/includeonly&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%A8%A1%E6%9D%BF:%E9%BB%91%E5%B9%95&amp;diff=39</id>
		<title>模板:黑幕</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%A8%A1%E6%9D%BF:%E9%BB%91%E5%B9%95&amp;diff=39"/>
		<updated>2026-01-18T06:14:12Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&amp;lt;includeonly&amp;gt;&amp;lt;siv title=&amp;quot;{{{2|你知道的太多了}}}&amp;quot; class=&amp;quot;heimu&amp;quot;&amp;gt;{{{1}}}&amp;lt;/div&amp;gt;&amp;lt;/includeonly&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=MediaWiki:Common.css&amp;diff=38</id>
		<title>MediaWiki:Common.css</title>
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		<updated>2026-01-18T06:13:52Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;/* 这里放置的CSS将应用于所有皮肤 */&lt;br /&gt;
.heimu,&lt;br /&gt;
.heimu rt {&lt;br /&gt;
    background-color: #252525;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.heimu,&lt;br /&gt;
.heimu a,&lt;br /&gt;
a .heimu {&lt;br /&gt;
    color: #252525;&lt;br /&gt;
    transition: color 0.13s linear;&lt;br /&gt;
    text-shadow: none;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
span.heimu:hover,&lt;br /&gt;
span.heimu:active {&lt;br /&gt;
    color: #fff;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
span.heimu:hover a,&lt;br /&gt;
a:hover span.heimu {&lt;br /&gt;
    color: lightblue;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.heimu {&lt;br /&gt;
    display: inline-block;&lt;br /&gt;
}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88&amp;diff=37</id>
		<title>集合</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88&amp;diff=37"/>
		<updated>2026-01-18T06:06:11Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 集合元素的互异性 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;a,b\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;，集合 &amp;lt;math&amp;gt;\{1,a+b,a\}=\left\{0,\dfrac ba,b\right\}&amp;lt;/math&amp;gt;，求 &amp;lt;math&amp;gt;a^{2023}+b^{2024}&amp;lt;/math&amp;gt; 的值。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 集合与函数的定义域、值域 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{y\mid y=2^{x-1},1\le x\le2\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;B=\{x\mid y=\lg(2-x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则下列结论正确的是（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;A\subseteq B&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;A\cap B=[0,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;A\cup B=(-\infty,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;(\complement_\mathbb R A)\cup B=\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;解答&#039;&#039;&#039;：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;A=[2^{1-1},2^{2-1}]=[1,2]&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;B=\{x\mid 2-x&amp;gt;0\}=(-\infty,2)&amp;lt;/math&amp;gt;．因此 C 选项正确．}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 集合与不等式 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{x\mid -1\le x\le4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C=\{x\mid 2m&amp;lt;x&amp;lt;m+1\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若命题“&amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt;”为假，求实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 差集的定义与运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;P,Q&amp;lt;/math&amp;gt; 是两个集合，定义  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q=\{x\mid x\in P\text{ 且 }x\notin Q\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;P=\{x\mid1&amp;lt;2^x&amp;lt;4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;Q=\{y\mid y=2+\sin x,x\in\mathbb R\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
求 &amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;解答：&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;P=(0,2)&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;Q=[1,3]&amp;lt;/math&amp;gt;．根据定义，&amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q&amp;lt;/math&amp;gt; 就是从 &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; 中去掉 &amp;lt;math&amp;gt;P&amp;lt;/math&amp;gt; 和 &amp;lt;math&amp;gt;Q&amp;lt;/math&amp;gt; 共有的部分后剩余的集合，因此 &amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q=(0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;．}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 聚点（极限思想） ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设集合 &amp;lt;math&amp;gt;X\subseteq\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;x_0\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt; 满足：  &lt;br /&gt;
对任意 &amp;lt;math&amp;gt;a&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;，都存在 &amp;lt;math&amp;gt;x\in X&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;|x-x_0|&amp;lt;a&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则称 &amp;lt;math&amp;gt;x_0&amp;lt;/math&amp;gt; 为集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的聚点。  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下列集合中以 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt; 为聚点的有（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb R,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb Z,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac1n,n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac n{n+1},n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|A、C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 指示函数与集合运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;U&amp;lt;/math&amp;gt; 为有限全集，对任意子集 &amp;lt;math&amp;gt;S\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt; 定义指示函数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
1_S(x)=&lt;br /&gt;
\begin{cases}&lt;br /&gt;
1,&amp;amp;x\in S,\\&lt;br /&gt;
0,&amp;amp;x\notin S.&lt;br /&gt;
\end{cases}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;A,B,C\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt;，则下列结论正确的是（　　）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in A}1_A(x)&amp;lt;\sum_{x\in U}1_A(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;1_{A\cap B}(x)\le1_A(x)\le1_{A\cup B}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}1_{A\cup B}(x)=\sum_{x\in U}1_A(x)+1_B(x)-1_A(x)1_B(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}(1-1_A(x))(1-1_B(x))(1-1_C(x))=\sum_{x\in U}1_U(x)-\sum_{x\in U}1_{A\cup B\cup C}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|B、C、D}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 集合不相交的判定 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{x\mid -1\le x\le4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，&amp;lt;math&amp;gt;C=\{x\mid 2m&amp;lt;x&amp;lt;m+1\}&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt; 为假命题，求实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围．&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;解答&#039;&#039;&#039;：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt; 为假命题，则 &amp;lt;math&amp;gt;\forall\,x\in C,x\notin A&amp;lt;/math&amp;gt; 为真命题，即 &amp;lt;math&amp;gt;C\cap A=\varnothing&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;C=\varnothing&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;2m\ge m+1&amp;lt;/math&amp;gt;，解得 &amp;lt;math&amp;gt;m\ge-1&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;C\ne\varnothing&amp;lt;/math&amp;gt;，则 &amp;lt;math&amp;gt;2m&amp;lt;m+1\le-1&amp;lt;/math&amp;gt; 或 &amp;lt;math&amp;gt;4\le2m&amp;lt;m+1&amp;lt;/math&amp;gt;，解得 &amp;lt;math&amp;gt;m\le-2&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
&amp;lt;br&amp;gt;&lt;br /&gt;
综上，实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围是 &amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;．&lt;br /&gt;
}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案&#039;&#039;&#039;：{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{到笔记|集合}}&lt;br /&gt;
[[分类:代数]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88&amp;diff=36</id>
		<title>集合</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88&amp;diff=36"/>
		<updated>2026-01-18T05:54:19Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 集合元素的互异性 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;a,b\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;，集合 &amp;lt;math&amp;gt;\{1,a+b,a\}=\left\{0,\dfrac ba,b\right\}&amp;lt;/math&amp;gt;，求 &amp;lt;math&amp;gt;a^{2023}+b^{2024}&amp;lt;/math&amp;gt; 的值。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 集合与函数的定义域、值域 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{y\mid y=2^{x-1},1\le x\le2\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;B=\{x\mid y=\lg(2-x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则下列结论正确的是（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;A\subseteq B&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;A\cap B=[0,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;A\cup B=(-\infty,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;(\complement_\mathbb R A)\cup B=\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 集合与不等式 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{x\mid -1\le x\le4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C=\{x\mid 2m&amp;lt;x&amp;lt;m+1\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若命题“&amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt;”为假，求实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 差集的定义与运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;P,Q&amp;lt;/math&amp;gt; 是两个集合，定义  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q=\{x\mid x\in P\text{ 且 }x\notin Q\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;P=\{x\mid1&amp;lt;2^x&amp;lt;4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;Q=\{y\mid y=2+\sin x,x\in\mathbb R\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
求 &amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 聚点（极限思想） ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设集合 &amp;lt;math&amp;gt;X\subseteq\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;x_0\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt; 满足：  &lt;br /&gt;
对任意 &amp;lt;math&amp;gt;a&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;，都存在 &amp;lt;math&amp;gt;x\in X&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;|x-x_0|&amp;lt;a&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则称 &amp;lt;math&amp;gt;x_0&amp;lt;/math&amp;gt; 为集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的聚点。  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下列集合中以 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt; 为聚点的有（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb R,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb Z,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac1n,n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac n{n+1},n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|A、C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 指示函数与集合运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;U&amp;lt;/math&amp;gt; 为有限全集，对任意子集 &amp;lt;math&amp;gt;S\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt; 定义指示函数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
1_S(x)=&lt;br /&gt;
\begin{cases}&lt;br /&gt;
1,&amp;amp;x\in S,\\&lt;br /&gt;
0,&amp;amp;x\notin S.&lt;br /&gt;
\end{cases}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;A,B,C\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt;，则下列结论正确的是（　　）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in A}1_A(x)&amp;lt;\sum_{x\in U}1_A(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;1_{A\cap B}(x)\le1_A(x)\le1_{A\cup B}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}1_{A\cup B}(x)=\sum_{x\in U}1_A(x)+1_B(x)-1_A(x)1_B(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}(1-1_A(x))(1-1_B(x))(1-1_C(x))=\sum_{x\in U}1_U(x)-\sum_{x\in U}1_{A\cup B\cup C}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|B、C、D}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{到笔记|集合}}&lt;br /&gt;
[[分类:代数]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%B0%A7%E5%8C%96%E8%BF%98%E5%8E%9F%E5%8F%8D%E5%BA%94&amp;diff=35</id>
		<title>氧化还原反应</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%B0%A7%E5%8C%96%E8%BF%98%E5%8E%9F%E5%8F%8D%E5%BA%94&amp;diff=35"/>
		<updated>2026-01-18T05:50:42Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​创建页面，内容为“== 氧化还原反应配平 == === 电子守恒法 === 请配平下列离子方程式（答案已隐藏）：  &amp;lt;chem&amp;gt;Fe^{2+} + MnO4^-\rightarrow Fe^{3+} + Mn^{2+}&amp;lt;/chem&amp;gt;  {{黑幕|&amp;lt;chem&amp;gt;5Fe^{2+} + MnO_4^- + 8H^+ =\!=\!= 5Fe^{3+} + Mn^{2+} + 4H_2O&amp;lt;/chem&amp;gt;}} {{到笔记|氧化还原反应方程式}} {{到笔记|氧化还原反应}}”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 氧化还原反应配平 ==&lt;br /&gt;
=== 电子守恒法 ===&lt;br /&gt;
请配平下列离子方程式（答案已隐藏）：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;chem&amp;gt;Fe^{2+} + MnO4^-\rightarrow Fe^{3+} + Mn^{2+}&amp;lt;/chem&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{黑幕|&amp;lt;chem&amp;gt;5Fe^{2+} + MnO_4^- + 8H^+ =\!=\!= 5Fe^{3+} + Mn^{2+} + 4H_2O&amp;lt;/chem&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
{{到笔记|氧化还原反应方程式}}&lt;br /&gt;
{{到笔记|氧化还原反应}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88&amp;diff=34</id>
		<title>集合</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88&amp;diff=34"/>
		<updated>2026-01-18T05:46:04Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 考点：集合元素的互异性 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;a,b\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;，集合 &amp;lt;math&amp;gt;\{1,a+b,a\}=\left\{0,\dfrac ba,b\right\}&amp;lt;/math&amp;gt;，求 &amp;lt;math&amp;gt;a^{2023}+b^{2024}&amp;lt;/math&amp;gt; 的值。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 考点：集合与函数的定义域、值域 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{y\mid y=2^{x-1},1\le x\le2\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;B=\{x\mid y=\lg(2-x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则下列结论正确的是（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;A\subseteq B&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;A\cap B=[0,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;A\cup B=(-\infty,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;(\complement_\mathbb R A)\cup B=\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 考点：集合与不等式 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{x\mid -1\le x\le4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C=\{x\mid 2m&amp;lt;x&amp;lt;m+1\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若命题“&amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt;”为假，求实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 考点：差集的定义与运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;P,Q&amp;lt;/math&amp;gt; 是两个集合，定义  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q=\{x\mid x\in P\text{ 且 }x\notin Q\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;P=\{x\mid1&amp;lt;2^x&amp;lt;4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;Q=\{y\mid y=2+\sin x,x\in\mathbb R\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
求 &amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 考点：聚点（极限思想） ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设集合 &amp;lt;math&amp;gt;X\subseteq\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;x_0\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt; 满足：  &lt;br /&gt;
对任意 &amp;lt;math&amp;gt;a&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;，都存在 &amp;lt;math&amp;gt;x\in X&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;|x-x_0|&amp;lt;a&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则称 &amp;lt;math&amp;gt;x_0&amp;lt;/math&amp;gt; 为集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的聚点。  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下列集合中以 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt; 为聚点的有（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb R,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb Z,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac1n,n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac n{n+1},n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|A、C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 考点：指示函数与集合运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;U&amp;lt;/math&amp;gt; 为有限全集，对任意子集 &amp;lt;math&amp;gt;S\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt; 定义指示函数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
1_S(x)=&lt;br /&gt;
\begin{cases}&lt;br /&gt;
1,&amp;amp;x\in S,\\&lt;br /&gt;
0,&amp;amp;x\notin S.&lt;br /&gt;
\end{cases}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;A,B,C\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt;，则下列结论正确的是（　　）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in A}1_A(x)&amp;lt;\sum_{x\in U}1_A(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;1_{A\cap B}(x)\le1_A(x)\le1_{A\cup B}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}1_{A\cup B}(x)=\sum_{x\in U}1_A(x)+1_B(x)-1_A(x)1_B(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}(1-1_A(x))(1-1_B(x))(1-1_C(x))=\sum_{x\in U}1_U(x)-\sum_{x\in U}1_{A\cup B\cup C}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|B、C、D}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{到笔记|集合}}&lt;br /&gt;
[[分类:代数]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88&amp;diff=33</id>
		<title>集合</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%9B%86%E5%90%88&amp;diff=33"/>
		<updated>2026-01-18T05:45:10Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​创建页面，内容为“== 考点：集合元素的互异性 == &amp;lt;blockquote&amp;gt; 设 &amp;lt;math&amp;gt;a,b\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;，集合 &amp;lt;math&amp;gt;\{1,a+b,a\}=\left\{0,\dfrac ba,b\right\}&amp;lt;/math&amp;gt;，求 &amp;lt;math&amp;gt;a^{2023}+b^{2024}&amp;lt;/math&amp;gt; 的值。 &amp;lt;/blockquote&amp;gt;  &amp;#039;&amp;#039;&amp;#039;答案：&amp;#039;&amp;#039;&amp;#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;}}  ----  == 考点：集合与函数的定义域、值域 == &amp;lt;blockquote&amp;gt; 已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{y\mid y=2^{x-1},1\le x\le2\}&amp;lt;/math&amp;gt;，   &amp;lt;math&amp;gt;B=\{x\mid y=\lg(2-x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;，   则下列结论正确的是（　　…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 考点：集合元素的互异性 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;a,b\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;，集合 &amp;lt;math&amp;gt;\{1,a+b,a\}=\left\{0,\dfrac ba,b\right\}&amp;lt;/math&amp;gt;，求 &amp;lt;math&amp;gt;a^{2023}+b^{2024}&amp;lt;/math&amp;gt; 的值。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 考点：集合与函数的定义域、值域 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{y\mid y=2^{x-1},1\le x\le2\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;B=\{x\mid y=\lg(2-x)\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则下列结论正确的是（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;A\subseteq B&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;A\cap B=[0,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;A\cup B=(-\infty,2]&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;(\complement_\mathbb R A)\cup B=\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 考点：集合与不等式 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
已知集合 &amp;lt;math&amp;gt;A=\{x\mid -1\le x\le4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;C=\{x\mid 2m&amp;lt;x&amp;lt;m+1\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若命题“&amp;lt;math&amp;gt;\exists\,x\in C,x\in A&amp;lt;/math&amp;gt;”为假，求实数 &amp;lt;math&amp;gt;m&amp;lt;/math&amp;gt; 的取值范围。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 考点：差集的定义与运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;P,Q&amp;lt;/math&amp;gt; 是两个集合，定义  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q=\{x\mid x\in P\text{ 且 }x\notin Q\}&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;P=\{x\mid1&amp;lt;2^x&amp;lt;4\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;Q=\{y\mid y=2+\sin x,x\in\mathbb R\}&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
求 &amp;lt;math&amp;gt;P\setminus Q&amp;lt;/math&amp;gt;。&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|&amp;lt;math&amp;gt;(0,1)&amp;lt;/math&amp;gt;}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 考点：聚点（极限思想） ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设集合 &amp;lt;math&amp;gt;X\subseteq\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt;。  &lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;x_0\in\mathbb R&amp;lt;/math&amp;gt; 满足：  &lt;br /&gt;
对任意 &amp;lt;math&amp;gt;a&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt;，都存在 &amp;lt;math&amp;gt;x\in X&amp;lt;/math&amp;gt; 使得 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;|x-x_0|&amp;lt;a&amp;lt;/math&amp;gt;，  &lt;br /&gt;
则称 &amp;lt;math&amp;gt;x_0&amp;lt;/math&amp;gt; 为集合 &amp;lt;math&amp;gt;X&amp;lt;/math&amp;gt; 的聚点。  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
下列集合中以 &amp;lt;math&amp;gt;0&amp;lt;/math&amp;gt; 为聚点的有（　　）  &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb R,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x\in\mathbb Z,x\ne0\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac1n,n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\{x\mid x=\dfrac n{n+1},n\in\mathbb N^\ast\}&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|A、C}}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
----&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
== 考点：指示函数与集合运算 ==&lt;br /&gt;
&amp;lt;blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
设 &amp;lt;math&amp;gt;U&amp;lt;/math&amp;gt; 为有限全集，对任意子集 &amp;lt;math&amp;gt;S\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt; 定义指示函数：&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&amp;lt;math&amp;gt;&lt;br /&gt;
1_S(x)=&lt;br /&gt;
\begin{cases}&lt;br /&gt;
1,&amp;amp;x\in S,\\&lt;br /&gt;
0,&amp;amp;x\notin S.&lt;br /&gt;
\end{cases}&lt;br /&gt;
&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
若 &amp;lt;math&amp;gt;A,B,C\subseteq U&amp;lt;/math&amp;gt;，则下列结论正确的是（　　）&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
A. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in A}1_A(x)&amp;lt;\sum_{x\in U}1_A(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
B. &amp;lt;math&amp;gt;1_{A\cap B}(x)\le1_A(x)\le1_{A\cup B}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
C. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}1_{A\cup B}(x)=\sum_{x\in U}1_A(x)+1_B(x)-1_A(x)1_B(x)&amp;lt;/math&amp;gt;  &lt;br /&gt;
D. &amp;lt;math&amp;gt;\sum_{x\in U}(1-1_A(x))(1-1_B(x))(1-1_C(x))=\sum_{x\in U}1_U(x)-\sum_{x\in U}1_{A\cup B\cup C}(x)&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;/blockquote&amp;gt;&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&#039;&#039;&#039;答案：&#039;&#039;&#039;{{黑幕|B、C、D}}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=MediaWiki:Common.css&amp;diff=32</id>
		<title>MediaWiki:Common.css</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=MediaWiki:Common.css&amp;diff=32"/>
		<updated>2026-01-18T05:42:44Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​创建页面，内容为“/* 这里放置的CSS将应用于所有皮肤 */ .heimu, .heimu rt {     background-color: #252525; }  .heimu, .heimu a, a .heimu {     color: #252525;     transition: color 0.13s linear;     text-shadow: none; }  span.heimu:hover, span.heimu:active {     color: #fff; }  span.heimu:hover a, a:hover span.heimu {     color: lightblue; }”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;/* 这里放置的CSS将应用于所有皮肤 */&lt;br /&gt;
.heimu,&lt;br /&gt;
.heimu rt {&lt;br /&gt;
    background-color: #252525;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.heimu,&lt;br /&gt;
.heimu a,&lt;br /&gt;
a .heimu {&lt;br /&gt;
    color: #252525;&lt;br /&gt;
    transition: color 0.13s linear;&lt;br /&gt;
    text-shadow: none;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
span.heimu:hover,&lt;br /&gt;
span.heimu:active {&lt;br /&gt;
    color: #fff;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
span.heimu:hover a,&lt;br /&gt;
a:hover span.heimu {&lt;br /&gt;
    color: lightblue;&lt;br /&gt;
}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%A8%A1%E6%9D%BF:%E9%BB%91%E5%B9%95&amp;diff=31</id>
		<title>模板:黑幕</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%A8%A1%E6%9D%BF:%E9%BB%91%E5%B9%95&amp;diff=31"/>
		<updated>2026-01-18T05:41:23Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​创建页面，内容为“&amp;lt;includeonly&amp;gt;&amp;lt;span title=&amp;quot;{{{2|你知道的太多了}}}&amp;quot; class=&amp;quot;heimu&amp;quot;&amp;gt;{{{1}}}&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/includeonly&amp;gt;”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&amp;lt;includeonly&amp;gt;&amp;lt;span title=&amp;quot;{{{2|你知道的太多了}}}&amp;quot; class=&amp;quot;heimu&amp;quot;&amp;gt;{{{1}}}&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/includeonly&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%A8%A1%E6%9D%BF:%E9%A6%96%E9%A1%B5/styles.css&amp;diff=30</id>
		<title>模板:首页/styles.css</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%A8%A1%E6%9D%BF:%E9%A6%96%E9%A1%B5/styles.css&amp;diff=30"/>
		<updated>2026-01-17T02:47:38Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​去圆角&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;@media (max-width: 700px) {&lt;br /&gt;
    .homepage-title-flex {&lt;br /&gt;
        flex-direction: column;&lt;br /&gt;
        align-items: flex-start;&lt;br /&gt;
    }&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.subject-grid {&lt;br /&gt;
    display: grid;&lt;br /&gt;
    grid-template-columns: repeat(3, 1fr);&lt;br /&gt;
    gap: 1em;&lt;br /&gt;
    padding: 0.6em 0;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.subject-item {&lt;br /&gt;
	display: flex;&lt;br /&gt;
    align-items: center;        /* ← 垂直居中 */&lt;br /&gt;
    border: 1px solid var(--border-color-base);&lt;br /&gt;
    background: var(--background-color-base);&lt;br /&gt;
    overflow: hidden;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
/* 让链接撑满整个卡片 */&lt;br /&gt;
.subject-item &amp;gt; a {&lt;br /&gt;
    display: flex;&lt;br /&gt;
    align-items: center;&lt;br /&gt;
    gap: 0.4em;&lt;br /&gt;
    padding: 0.4em 0.6em;&lt;br /&gt;
    width: 100%;&lt;br /&gt;
    height: 100%;&lt;br /&gt;
    color: var(--color-link);&lt;br /&gt;
    text-decoration: none;&lt;br /&gt;
    white-space: normal;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
@media (max-width: 480px) {&lt;br /&gt;
    .subject-item &amp;gt; a {&lt;br /&gt;
        padding: 0.4em 0.3em;&lt;br /&gt;
        gap: 0.3em;&lt;br /&gt;
    }&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
/* hover 效果 */&lt;br /&gt;
.subject-item:hover {&lt;br /&gt;
    background: var(--background-color-neutral-subtle);&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-card {&lt;br /&gt;
    border: 1px solid var(--border-color-base);&lt;br /&gt;
    padding: 0.8em 1em;&lt;br /&gt;
    background: var(--background-color-base);&lt;br /&gt;
    margin: 0;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-main-title {&lt;br /&gt;
    font-size: 1.35em;      /* 比 info-title 更大 */&lt;br /&gt;
    font-weight: bold;&lt;br /&gt;
    margin-bottom: 0.4em;&lt;br /&gt;
    display: flex;&lt;br /&gt;
    align-items: center;&lt;br /&gt;
    gap: 0.35em;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-title {&lt;br /&gt;
    font-size: 1.1em;&lt;br /&gt;
    font-weight: bold;&lt;br /&gt;
    margin-bottom: 0.4em;&lt;br /&gt;
    display: flex;&lt;br /&gt;
    align-items: center;&lt;br /&gt;
    gap: 0.3em;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-list {&lt;br /&gt;
    margin: 0.4em 0;&lt;br /&gt;
    padding-left: 1.2em;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-list li {&lt;br /&gt;
    margin: 0.3em 0;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-footer {&lt;br /&gt;
    margin-top: 0.6em;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
/* 让 info-title 在前面有内容时自动增加上边距 */ &lt;br /&gt;
.info-title:not(:first-child) { margin-top: 0.8em; }&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.homepage-grid {&lt;br /&gt;
    display: grid;&lt;br /&gt;
    grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(min(100%, 450px), 1fr));&lt;br /&gt;
    gap: 1em;&lt;br /&gt;
    grid-auto-flow: dense;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
@media (max-width: 480px) {&lt;br /&gt;
    .homepage-grid {&lt;br /&gt;
        grid-template-columns: 1fr !important;&lt;br /&gt;
    }&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.homepage-dyk {&lt;br /&gt;
	background: var(--background-color-notice-subtle);&lt;br /&gt;
    border-left: 3px solid var(--border-color-base); /* 你要的竖线 */ /* 和 info-card 一样的圆角 */&lt;br /&gt;
    padding: 0.8em 1em; /* 和 info-card 一样的内边距 */&lt;br /&gt;
    white-space: revert !important;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.homepage-formula {&lt;br /&gt;
    display: block;&lt;br /&gt;
    width: 100%;&lt;br /&gt;
    white-space: normal;&lt;br /&gt;
    min-width: 0;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.mw-parser-output {&lt;br /&gt;
    min-width: 0 !important;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
@media (max-width: 450px) {&lt;br /&gt;
    .homepage-grid {&lt;br /&gt;
        grid-template-columns: 1fr !important;&lt;br /&gt;
    }&lt;br /&gt;
}&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&amp;diff=29</id>
		<title>首页</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&amp;diff=29"/>
		<updated>2026-01-17T02:46:40Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&amp;lt;templatestyles src=&amp;quot;模板:首页/styles.css&amp;quot; /&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;div class=&amp;quot;homepage-banner&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
&amp;lt;div class=&amp;quot;mw-message-box mw-message-box-notice&amp;quot; style=&amp;quot;float:right; width:165px; margin:0 0 1em 1em; padding:0.6em;&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
[[文件:迪拉熊：再见！.png|右|替代=迪拉熊|でらっくま]]&lt;br /&gt;
&amp;lt;span style=&amp;quot;color:var(--color-subtle);&amp;quot;&amp;gt;でらっくま&amp;lt;/span&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&amp;lt;/div&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E5%88%86%E7%B1%BB:%E4%BB%A3%E6%95%B0&amp;diff=28</id>
		<title>分类:代数</title>
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		<updated>2026-01-17T02:42:47Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​创建页面，内容为“分类:数学”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;[[分类:数学]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
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		<title>不等式</title>
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		<updated>2026-01-17T02:41:05Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 基本不等式 ==&lt;br /&gt;
=== 用一段长为 &amp;lt;math&amp;gt;36\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt; 的篱笆围成一个矩形菜园.===&lt;br /&gt;
# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？&lt;br /&gt;
# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 &amp;lt;math&amp;gt;x\,\text{m}, y\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt;，则篱笆的长度为 &amp;lt;math&amp;gt;2(x + y)\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 由已知，得 &amp;lt;math&amp;gt;xy = 100&amp;lt;/math&amp;gt;，&lt;br /&gt;
* 根据基本不等式 &amp;lt;math&amp;gt;\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}&amp;lt;/math&amp;gt;，&lt;br /&gt;
* 可得 &amp;lt;math&amp;gt;x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20&amp;lt;/math&amp;gt;，&lt;br /&gt;
* 所以，&amp;lt;math&amp;gt;2(x + y) \geq 40&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* 当且仅当 &amp;lt;math&amp;gt;x = y = 10&amp;lt;/math&amp;gt; 时，上式等号成立.&lt;br /&gt;
* 因此，当这个矩形菜园是边长为 &amp;lt;math&amp;gt;10\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt; 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 &amp;lt;math&amp;gt;40\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
2. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 由已知，得 &amp;lt;math&amp;gt;2(x + y) = 40&amp;lt;/math&amp;gt;，矩形菜园的面积为 &amp;lt;math&amp;gt;xy\,\text{m}^2&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
* 根据基本不等式可得 &amp;lt;math&amp;gt;\sqrt{xy} \leq \frac{x + y}{2} = \frac{18}{2} = 9&amp;lt;/math&amp;gt;，&lt;br /&gt;
* 所以，&amp;lt;math&amp;gt;xy \leq 81&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
* 当且仅当 &amp;lt;math&amp;gt;x = y = 9&amp;lt;/math&amp;gt; 时，上式等号成立.&lt;br /&gt;
* 因此，当这个矩形菜园时边长为 &amp;lt;math&amp;gt;9\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt; 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 &amp;lt;math&amp;gt;81\,\text{m}^2&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
{{到笔记|不等式}}&lt;br /&gt;
[[分类:代数]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%A8%A1%E6%9D%BF:%E5%88%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0&amp;diff=26</id>
		<title>模板:到笔记</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E6%A8%A1%E6%9D%BF:%E5%88%B0%E7%AC%94%E8%AE%B0&amp;diff=26"/>
		<updated>2026-01-17T02:40:32Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​创建页面，内容为“&amp;lt;div class=&amp;quot;quiz-notice&amp;quot; style=&amp;quot;border:1px solid var(--border-color-base); border-left:4px solid #4a90e2; padding:1.2em 1em; background:var(--background-color-notice-subtle); margin:0;&amp;quot;&amp;gt; &amp;lt;div style=&amp;quot;font-size:1.2em; font-weight:bold; display:flex; align-items:center; gap:0.4em;&amp;quot;&amp;gt; 30px &amp;lt;span&amp;gt;&amp;lt;big&amp;gt;高中笔记&amp;lt;/big&amp;gt;&amp;lt;small&amp;gt;提示您：&amp;lt;/small&amp;gt;&amp;lt;/span&amp;gt;&amp;lt;/div&amp;gt; &amp;lt;div&amp;gt; 关于&amp;lt;strong&amp;gt;{{{1}}}&amp;lt;/strong&amp;gt;的相关笔记，已收录在姊妹项目&amp;#039;&amp;#039;&amp;#039;[https://c…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;&amp;lt;div class=&amp;quot;quiz-notice&amp;quot; style=&amp;quot;border:1px solid var(--border-color-base); border-left:4px solid #4a90e2; padding:1.2em 1em; background:var(--background-color-notice-subtle); margin:0;&amp;quot;&amp;gt;&lt;br /&gt;
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&amp;lt;/noinclude&amp;gt;&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F&amp;diff=25</id>
		<title>不等式</title>
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		<updated>2026-01-17T01:49:47Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​创建页面，内容为“== 基本不等式 == === 用一段长为 &amp;lt;math&amp;gt;36\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt; 的篱笆围成一个矩形菜园.=== # 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ # 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？  解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 &amp;lt;math&amp;gt;x\,\text{m}, y\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt;，则篱笆的长度为 &amp;lt;math&amp;gt;2(x + y)\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt;.  1.   * 由已知，…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
&lt;div&gt;== 基本不等式 ==&lt;br /&gt;
=== 用一段长为 &amp;lt;math&amp;gt;36\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt; 的篱笆围成一个矩形菜园.===&lt;br /&gt;
# 当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？&lt;br /&gt;
# 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 &amp;lt;math&amp;gt;x\,\text{m}, y\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt;，则篱笆的长度为 &amp;lt;math&amp;gt;2(x + y)\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
1. &lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
* 由已知，得 &amp;lt;math&amp;gt;xy = 100&amp;lt;/math&amp;gt;，&lt;br /&gt;
* 根据基本不等式 &amp;lt;math&amp;gt;\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}&amp;lt;/math&amp;gt;，&lt;br /&gt;
* 可得 &amp;lt;math&amp;gt;x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20&amp;lt;/math&amp;gt;，&lt;br /&gt;
* 所以，&amp;lt;math&amp;gt;2(x + y) \geq 40&amp;lt;/math&amp;gt;&lt;br /&gt;
* 当且仅当 &amp;lt;math&amp;gt;x = y = 10&amp;lt;/math&amp;gt; 时，上式等号成立.&lt;br /&gt;
* 因此，当这个矩形菜园是边长为 &amp;lt;math&amp;gt;10\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt; 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 &amp;lt;math&amp;gt;40\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
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2. &lt;br /&gt;
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* 由已知，得 &amp;lt;math&amp;gt;2(x + y) = 40&amp;lt;/math&amp;gt;，矩形菜园的面积为 &amp;lt;math&amp;gt;xy\,\text{m}^2&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
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* 所以，&amp;lt;math&amp;gt;xy \leq 81&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
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* 因此，当这个矩形菜园时边长为 &amp;lt;math&amp;gt;9\,\text{m}&amp;lt;/math&amp;gt; 的正方形时，菜园面积最大，最大面积是 &amp;lt;math&amp;gt;81\,\text{m}^2&amp;lt;/math&amp;gt;.&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
[[分类:代数]]&lt;/div&gt;</summary>
		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&amp;diff=24</id>
		<title>首页</title>
		<link rel="alternate" type="text/html" href="https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&amp;diff=24"/>
		<updated>2026-01-17T01:48:01Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
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		<title>模板:首页/styles.css</title>
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<title>模板:首页/styles.css</title>
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&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
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    border-radius: 8px;&lt;br /&gt;
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    overflow: hidden;&lt;br /&gt;
    line-height: 1;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
/* 让链接撑满整个卡片 */&lt;br /&gt;
.subject-item &amp;gt; a {&lt;br /&gt;
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    align-items: center;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
/* hover 效果 */&lt;br /&gt;
.subject-item:hover {&lt;br /&gt;
    background: var(--background-color-neutral-subtle);&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-card {&lt;br /&gt;
    border: 1px solid var(--border-color-base);&lt;br /&gt;
    border-radius: 8px;&lt;br /&gt;
    padding: 0.8em 1em;&lt;br /&gt;
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}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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/* 让 info-title 在前面有内容时自动增加上边距 */ &lt;br /&gt;
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
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		<title>模板:首页/styles.css</title>
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		<updated>2026-01-16T07:11:46Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
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&lt;br /&gt;
/* 让 info-title 在前面有内容时自动增加上边距 */ &lt;br /&gt;
.info-title:not(:first-child) { margin-top: 0.8em; }&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.homepage-grid {&lt;br /&gt;
    display: grid;&lt;br /&gt;
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    gap: 1em;&lt;br /&gt;
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.homepage-dyk {&lt;br /&gt;
	background: var(--background-color-notice-subtle);&lt;br /&gt;
    border-left: 3px solid var(--border-color-base); /* 你要的竖线 */&lt;br /&gt;
    border-radius: 8px; /* 和 info-card 一样的圆角 */&lt;br /&gt;
    padding: 0.8em 1em; /* 和 info-card 一样的内边距 */&lt;br /&gt;
    white-space: revert !important;&lt;br /&gt;
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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&lt;br /&gt;
/* 让链接撑满整个卡片 */&lt;br /&gt;
.subject-item &amp;gt; a {&lt;br /&gt;
    display: flex;&lt;br /&gt;
    align-items: center;&lt;br /&gt;
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    width: 100%;&lt;br /&gt;
    height: 100%;&lt;br /&gt;
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    text-decoration: none;&lt;br /&gt;
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    min-width: 0;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
/* hover 效果 */&lt;br /&gt;
.subject-item:hover {&lt;br /&gt;
    background: var(--background-color-neutral-subtle);&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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.info-card {&lt;br /&gt;
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}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-main-title {&lt;br /&gt;
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    display: flex;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-title {&lt;br /&gt;
    font-size: 1.1em;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
.info-list {&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
.info-footer {&lt;br /&gt;
    margin-top: 0.6em;&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
/* 让 info-title 在前面有内容时自动增加上边距 */ &lt;br /&gt;
.info-title:not(:first-child) { margin-top: 0.8em; }&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.homepage-grid {&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
@media (max-width: 480px) {&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
.homepage-dyk {&lt;br /&gt;
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    border-left: 3px solid var(--border-color-base); /* 你要的竖线 */&lt;br /&gt;
    border-radius: 8px; /* 和 info-card 一样的圆角 */&lt;br /&gt;
    padding: 0.8em 1em; /* 和 info-card 一样的内边距 */&lt;br /&gt;
    white-space: revert !important;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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    display: block;&lt;br /&gt;
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<title>模板:首页/styles.css</title>
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&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
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&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<title>首页</title>
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		<updated>2026-01-16T06:57:44Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<updated>2026-01-16T06:52:51Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​已保护“首页”：​首页​（[编辑=仅允许管理员]（无限期）​[移动=仅允许管理员]（无限期））&lt;/p&gt;
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
		<id>https://quiz.classnote.top/index.php?title=%E9%A6%96%E9%A1%B5&amp;diff=4</id>
		<title>首页</title>
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		<updated>2026-01-16T05:55:19Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​&lt;/p&gt;
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
	</entry>
	<entry>
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		<title>模板:首页/styles.css</title>
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		<updated>2026-01-16T05:51:33Z</updated>

		<summary type="html">&lt;p&gt;MM 喵了个：​创建页面，内容为“@media (max-width: 700px) {     .homepage-title-flex {         flex-direction: column;         align-items: flex-start;     } }   .subject-grid {     display: grid;     grid-template-columns: repeat(3, 1fr);     gap: 0.6em;     padding: 0.6em 0; }  .subject-item {     border: 1px solid var(--border-color-base);     border-radius: 8px;     background: var(--background-color-base);     overflow: hidden; }  /* 让链接撑满整个卡片 */ .subject-item &amp;gt; a {…”&lt;/p&gt;
&lt;hr /&gt;
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    border: 1px solid var(--border-color-base);&lt;br /&gt;
    border-radius: 8px;&lt;br /&gt;
    background: var(--background-color-base);&lt;br /&gt;
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}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
/* 让链接撑满整个卡片 */&lt;br /&gt;
.subject-item &amp;gt; a {&lt;br /&gt;
    display: flex;&lt;br /&gt;
    align-items: center;&lt;br /&gt;
    gap: 0.4em;&lt;br /&gt;
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    width: 100%;&lt;br /&gt;
    height: 100%;&lt;br /&gt;
    color: var(--color-link);&lt;br /&gt;
    text-decoration: none;&lt;br /&gt;
    white-space: nowrap; /* emoji + 文字永不换行 */&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
/* hover 效果 */&lt;br /&gt;
.subject-item:hover {&lt;br /&gt;
    background: var(--background-color-neutral-subtle);&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-card {&lt;br /&gt;
    border: 1px solid var(--border-color-base);&lt;br /&gt;
    border-radius: 8px;&lt;br /&gt;
    padding: 0.8em 1em;&lt;br /&gt;
    background: var(--background-color-base);&lt;br /&gt;
    margin: 0;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-main-title {&lt;br /&gt;
    font-size: 1.35em;      /* 比 info-title 更大 */&lt;br /&gt;
    font-weight: bold;&lt;br /&gt;
    margin-bottom: 0.4em;&lt;br /&gt;
    display: flex;&lt;br /&gt;
    align-items: center;&lt;br /&gt;
    gap: 0.35em;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-title {&lt;br /&gt;
    font-size: 1.1em;&lt;br /&gt;
    font-weight: bold;&lt;br /&gt;
    margin-bottom: 0.4em;&lt;br /&gt;
    display: flex;&lt;br /&gt;
    align-items: center;&lt;br /&gt;
    gap: 0.3em;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-list {&lt;br /&gt;
    margin: 0.4em 0;&lt;br /&gt;
    padding-left: 1.2em;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-list li {&lt;br /&gt;
    margin: 0.3em 0;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.info-footer {&lt;br /&gt;
    margin-top: 0.6em;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
/* 让 info-title 在前面有内容时自动增加上边距 */ &lt;br /&gt;
.info-title:not(:first-child) { margin-top: 0.8em; }&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
&lt;br /&gt;
.homepage-grid {&lt;br /&gt;
    display: grid;&lt;br /&gt;
    grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(450px, 1fr));&lt;br /&gt;
	gap: 1em;&lt;br /&gt;
    grid-auto-flow: dense;&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
@media (max-width: 480px) {&lt;br /&gt;
    .homepage-grid {&lt;br /&gt;
        grid-template-columns: 1fr !important;&lt;br /&gt;
    }&lt;br /&gt;
}&lt;br /&gt;
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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		<author><name>MM 喵了个</name></author>
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